1、计算几何是?

  • 计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系,把图形转换成函数,然后用插值和逼近的数学方法,特别是用样条函数作为工具来分析图形,取得了可喜的成功。然而,这些方法过多地依赖于坐标系的选取,缺乏几何不变性,特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时,有一定的局限性。

2、过两点一条直线的表达式

1)首先是仿射组合:


- 仿射变换(Affine Transformation或 Affine Map)是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,它保持了二维图形的“平直性”(即:直线经过变换之后依然是直线)和“平行性”(即:二维图形之间的相对位置关系保持不变,平行线依然是平行线,且直线上点的位置顺序不变)。

2)区别

可以直接从表达式里看出来,放射变换:

- 仿射组合为过这两点的直线:

3)好处:

  • 它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。于是我们知道,其重要性,主要有二,其一是区分向量和点,其二是易于进行仿射变化(摘自百度百科

3、凸集

1)凸集是什么?

  • 在凸几何中,凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说,在欧氏空间中,凸集是对于集合内的每一对点,连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如,立方体是凸集,但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。(摘自百度百科

2)直线是凸集、仿射集吗?

  • 直线是凸集、仿射集吗?
    是的!
    看一下定义:
  • 直线是仿射集吗?
    我也觉得,是的

4、三维空间中的一个平面

  • 平面方程:
    Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)
    如图:

5、更高维度的“超平面”

6、凸函数

1)什么是“凸函数”定义?

2)什么是Hessen矩阵?

  • 黑塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。百度百科

3)如何判别一个函数是凸函数?

  • 对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数
  • 对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)凸函数。参考链接
  • f(x)=x^3 函数是凸函数吗?f(x)=x^3的图像连线并不都位于弧线上方,因此该函数不是凸函数!

7、凸规划

1)什么是凸规划?

  • 若最优化问题的目标函数为凸函数,不等式约束函数也为凸函数,等式约束函数是仿射的,则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集,因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时,若存在最优解,则这个最优解一定是唯一的最优解。

2)举例

验证下列(MP)是凸规划:

推导:

为正定、凸函数。

为半正定、凸函数。

为凸函数。

为凸函数。
- 因此,该例题为凸函数